La más asombrosa demostración matemática que nunca hubieras podido imaginar

nodoce

Si te digo que el resultado de sumar los infinitos números naturales no da infinito, sino que da como resultado un número real, y encima negativo, seguramente pensaréis que debo dejar de escribir a estas horas de la noche y con un cubata al lado. Pero sin embargo es cierto. La fórmula

formula

no solo es demostrable, sino que es de especial trascendencia en la teoría cuántica de campos, y en la teoría de cuerdas.

Si no lo habéis visto todavía, no os perdáis el vídeo. Tiene subtítulos en español. Si no aparecen automáticamente, seleccionar “Español” en la opción de subtítulos de youtube (a la izquierda de la ruedecita dentada).

22/4/2014

En los comentarios ha habido debate en relación al cálculo del resultado de la serie

S_{1} = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

En el vídeo, se ha tratado de primar en la simplicidad de la demostración para que sea accesible al mayor número de personas posibles. Pero se pueden obtener esos valores de otras maneras más sofisticadas.

La serie siguiente, es convergente y se cumple para todos los valores de x comprendidos entre -1 y 1, ambos no inclusive.

1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + ... = \frac {1}{(1-x)}

Los puntos 1 y -1 son puntos de singularidad. Al sustituir la x por un 1, la parte de la derecha de la igualdad es una división entre 0 que da como resultado infinito. Pero en el punto infinitamente próximo al 1, por el lado del 0, la igualdad se cumple. A medida que x sobrepasa el valor 1, la serie se hace divergente y deja de ser válida.

Lo mismo pasa por la izquierda. En el punto infinitamente próximo al -1 por el lado cercano al 0, la igualdad se cumple. Pero en este caso, al sustituir el valor de x por -1, el resultado no se dispara al infinito, sino que vale \frac {1}{2}.

Si observamos, vemos que la serie se ha convertido en la S_{1} del vídeo.

 S_{1} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = \frac {1}{2}

En este caso la singularidad no se produce por dispararse al infinito, sino por entrar en una indefinición. Realmente puede valer, 1 o 0. Pero el punto infinitamente próximo a -1, estaba infinitamente próximo a  \frac {1}{2}.

Ahora bien, si derivamos a ambos lados de la igualdad, obtenemos que:

\frac{\partial}{\partial x} ( 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + ... ) = \frac{\partial}{\partial x} \frac {1}{(1-x)}

1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + 5x^{4} + ... = \frac {1}{(1-x)^{2}}

Y si sustituimos ahora x por -1, obtenemos el resultado de la serie S_{2} del vídeo

S_{2} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 ... = \frac{1}{4}

Y el resto de la demostración sería igual que en el vídeo.

  • Es deonstración está incorrecta. Aunque la manipulación algebraica que hacen en la demonstración parece no tener un error, tiene sí un error en sus fundamentos: ella solo puede ser hecha cuando la serie converge. Cuando la serie diverge (como por exemplo la serie de suma de todos natutrales), el valor obtenido es infinito y no se puede manipular algebraicamente el infinito (sí, si puede intentar hacerlo pero si llega a absrudos como ese expuesto en video). El problema todo reside en decidir que es infinito menos infinito (todos naturales menos los ímapares por exemplo). Para ser más objetivo para que se pueda ver el incoherente quee es hacer ese tipo de manipulación algebraica, considere la suma de infinitos 1:

    S = 1+1+1+1+1+1+…

    Si equivocadamente supongo que la puedo manipuilar algebraicamente, yo poderia decir que

    S = 1+1+1+1+1+1+… = 1 + (1+1+1+1+1+…) = 1 + S

    Es decir S=1+S (eso no es errado, pues 1 + infinito es infinito). De aqui, si creo que S puede ser un número y mnipularlo como si lo fuera, tendré que:

    S -- S = 1

    y luego

    0 = 1

    un absurdo! Ese es el tipo de absurdo cometido en el video.

  • Ya les digo el primer error, S1 = 1-1+1-1+1…=1/2 está mal, y sigue una burrada atrás de otra…..

  • “Las series divergentes son una invención del demonio y es una vergüenza que cualquier demostración independiente se base en ellas”

    Niels Henrik Abel

  • Una historia que he visto por la internet:

    Cuenta la leyenda cómo Sissa inventa el ajedrez a petición de un rey que estaba aburrido y que éste, muy agradecido por el juego, le ofrece a Sissa lo que él quiera. Éste pide la cantidad de granos de arroz que quedarían en el tablero del ajedrez si ponemos 1 grano en una casilla esquina, 2 granos en la de al lado, 4 en la siguiente, y así sucesivamente.

    El rey le dice que está de acuerdo, pero tiene que ser con infinitas casillas. Sissa acepta y el rey ¡le pide 1 grano!

    s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . || s = 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . )

    s = 1 + 2s || s – 2s = 1 => s = -1

    Niels Henrik Abel (1802-1829), refiriéndose a una suma de una serie, decía:

    “Las series divergentes son un invento del diablo, y es una vergüenza que se ose basar en ellas demostración alguna. Mediante su uso es posible extraer la conclusión que se desee y esa es la razón por la que estas series han sido el origen de tantas falacias y paradojas. Es que puede uno pensar en algo más descorazonador que decir que: 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.: donde n es un número positivo. Amigos, he aquí algo de lo que nos podemos reír.”

  • Los físicos (algunos, no todos) y sus pseudomatemáticas…

    En breve lo que dice este “experto” es lo siguiente:
    Tomemos las siguientes sumas “infinitas”:
    S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
    S1 = 1 -- 1 + 1 -1 + 1 + …
    S2 = 1 -- 2 + 3 -- 4 + 5 + …

    Como S1 no sabemos si es 0 o es 1, tomemos el término medio como valor correcto: 1/2. (Sólo con leer esta chorrada ya deberíamos apagar el vídeo, pero sigamos).

    Manipulando término a término 2S2 vemos que es S1, o sea, 2S2 = 1/2. Luego S2 = 1/4

    Y, finalmente, manipulando término a término la resta S -- S2 vemos que es 4S, o sea, 3S = -1/4 o bien S = -1/12. ¡Bingo!

    Para ser breve descartando esta chorrada: S1 y S2 son series infinitas DIVERGENTES (o, con mas propiedad, no-convergentes) así que NO PODEMOS MANIPULARLAS TÉRMINO A TÉRMINO ni multiplicarlas por 2 término a término y luegos restarlas término a término. Bueno, poder sí podemos pero no tiene respaldo matemático.

    Otra cosa es que en Física avanzada, como “suma” se utilizan otras operaciones binarias que no son la suma ordinaria del cuerpo de los números reales. Ahí no entro. Con esa suma las series pueden ser convergentes y la manipulación término a término coherente. Pero es otro tipo de suma, no la de “5 euros + 3 euros son 8 euros”.

    Saludos

  • @ Marcelo Sobottka:

    Es deonstración está incorrecta.

    Porque usted lo vale… Porque es más listo que los demás…

    Aunque la manipulación algebraica que hacen en la demonstración parece no tener un error, tiene sí un error en sus fundamentos: ella solo puede ser hecha cuando la serie converge.

    En realidad la condición es más débil que la que usted impone. La condición es “convergencia absoluta”, es decir, que Sum{ |a_n|} sea finita.

    no se puede manipular algebraicamente el infinito

    Ese es el tipo de absurdo cometido en el video.

    Eso es verdad, sin embargo (tengo que hacer la comprobación exacta) lo más seguro es que todas estas manipulaciones funcionen porque al final no afecten a algún método de regularización de la suma.

    @ Gerardo C M:

    Ya les digo el primer error, S1 = 1-1+1-1+1…=1/2 está mal, y sigue una burrada atrás de otra…..

    Otro que afirma cosas porque él lo vale…

    @ HaLoHuBaMa:

    Los físicos (algunos, no todos) y sus pseudomatemáticas…

    Y el tercero en discordia que no sabe como funcionan las series divergentes pero que quiere pontificar sobre ellas…

    Como S1 no sabemos si es 0 o es 1, tomemos el término medio como valor correcto: 1/2. (Sólo con leer esta chorrada ya deberíamos apagar el vídeo, pero sigamos).

    No es una chorrada, eso se le llama “sumación de Cesàro”. Pero como usted no la conoce, pues puede pontificar con que está mal….
    Se dice que una serie es “sumable Cesàro” si, tomando las sumas parciales s_n=sum_{i=1}^n{a_n}, la serie b_n =sum_{i=1}^n{s_n/n} converge. Y, además, ese valor de convergencia es la suma de la serie original.

    Otra cosa es que en Física avanzada, como “suma” se utilizan otras operaciones binarias que no son la suma ordinaria del cuerpo de los números reales.

    Eso es lo que pasa cuando uno trabaja con distribuciones en lugar de con funciones y quiere conservar algo de intuición… Sin embargo para eso está la regularización.

  • @Someone: yo soy matemático por la especialidad de Analísis Matemático que es la que concierne a series, convergencia en espacios de Banach, etc… ¿Y tú?

    Conozco la sumabilidad Césaro y la diferencia entre funciones y distribuciones.

    El vídeo pretende, en mi opinión, tratar el asunto como si se estuvieran haciendo sumas “cotidianas” (en el sentido de 5 euros + 3 euros). No se dice en ningún momento que se trate de otro tipo de sumabilidad o que los objetos sumados sean de naturaleza distinta a números reales. Por eso es inaceptable. Aunque es gracioso.

    Un saludo

  • Para todos los que dicen que 1-1+1-1+1-1… no es 1/2 ¿os habéis molestado en ver el vídeo en el que se explica cómo se llega a ese resultado? Porque es sorprendente, pero matemáticamente correcto.

  • HaLoHuBaMa dijo:

    Por eso es inaceptable. Aunque es gracioso.

    Es inaceptable para ti: la aproximación concuerda con los resultados físicos.
    En otro orden de cosas, te agradecería que me indicaras qué hay de incorrecto en las sumas que siguen:
    S=1-1+1-1…=1-(1-1+1-1+1-1…)=1-S y, por tanto, 2S=1 y S=1/2

  • @Magao: me he molestado en ver el vídeo y me molesté antes 5 años en sacarme un título de matemático.

    “Matemáticamente correcto” es ambíguo. Depende, como decía Someone, del concepto de sumabilidad. Con la sumabilidad ordinaria, la serie es divergente, es decir, no tiene suma posible. Pero hay otros conceptos de sumabilidad como el de Césaro:

    https://es.wikipedia.org/wiki/Sumaci%C3%B3n_de_Ces%C3%A0ro

    En el sentido de Césaro la serie no diverge, es decir, se puede sumar. Y si el vídeo empezara diciendo: “si olvidamos el método habitual de sumar y utilizamos el método del analista italiano Ernesto Cesàro (1859-1906)…”

    Pero yo al menos no he oído nada de eso…

  • :)
    ¿Qué queréis que os diga? Esta fórmula solo aplica en la singularidad del infinito. Como me dice mi amigo Manuel, matemático de formación y compañero de profesión, si piensas mucho en la lógica del infinito puedes acabar como Georg Cantor, en el psiquiátrico.

    La serie S1, que por lo que veo en los comentarios es la más criticada, solo la utiliza para calcular el valor de la S2. Pero se puede llegar a esos mismos valores por otro método un poco más complicado. En el vídeo han querido que primase la simplicidad. Los chicos de Numberphile hicieron posteriormente otro de mayor duración en el que mostraban esta misma demostración pero con un mayor soporte matemático. En concreto, si tomamos la serie:

    1+x+x2+x3+x4+…=1/(1-x)

    la igualdad se cumple para valores -1<x<1
    Los puntos 1 y -1 son puntos de singularidad. Si x=1, el resultado es infinito. Pero si x=-1 el resultado es 1/2, y en ese caso la serie obtenida coincide con la S1:

    1-1+1-1+1-1+…….=1/2

    según esa fórmula, que era cierta para el punto infinitamente próximo por la derecha en el eje de números reales.

    Pero si derivamos ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos que:
    1+x+x2+x3+x4+…=1/(1-x)

    al derivarla…
    0+1+2x+3x2+4x3+….=1/(1-x)2

    Y al volver a sustituir x por -1,

    1-2+3-4+…..

    obtenemos la serie S2, y que según esta fórmula, su resultado se corresponde con ¡ 1/4 ¡

    :)

    Voy a dejarlo, antes de que me pongan la camisa de fuerza.

  • Propongo al administrador otro tema igualmente “sorprendente”. Dibujen un línea en un folio. Dibujen un puntito fuera de la línea. Para acabar, dibujen una línea paralela a la primera que pase por el puntito.

    ¿Pueden hacerlo? Claro que sí. La paralela existe, es fácil de trazar y hay sólo una, es decir, es única.

    ¿Única? Pues no. Podrías buscar en Youtube explicaciones de que es matemáticamente posible trazar infinitas paralelas.

    ¿Son falsas esas explicaciones? En absoluto. Se trata de explicar que hay distintas geometrías, todas ellas matemáticamente correctas. En la que parece que nos gobierna, la euclídea, la paralela existe y es única. Pero en otras geometrías puede haber más de una paralela.

    Para más información:

    https://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

    Saludos

  • HaLoHuBaMa dijo:

    Pero yo al menos no he oído nada de eso…

    Bueno, realmente lo dice al final de la demostración. Dice que si haces una suma tradicional obtendrás una serie divergente. Solo se cumple en la singularidad del infinito. Es una curiosidad, pero no me podéis negar que es asombroso.

  • @ Someone:
    Tengo que admitir mi error al escribir la suma de Cesàreo, donde digo

    Se dice que una serie es “sumable Cesàro” si, tomando las sumas parciales s_n=sum_{i=1}^n{a_n}, la serie b_n =sum_{i=1}^n{s_n/n}

    debería decir
    “Se dice que una serie es “sumable Cesàro” si, tomando las sumas parciales s_n=sum_{i=1}^n{a_i}, la serie b_n =sum_{i=1}^n{s_i/n}”

    @ lamentira:
    Me encanta la demostración son función generatriz, la iba a escribir yo ahora si no te hubieses adelantado.

    @ HaLoHuBaMa:

    Dibujen un puntito fuera de la línea. Para acabar, dibujen una línea paralela a la primera que pase por el puntito.

    No intente escapar ahora intentando salirse de la métrica plana…

    ¿Son falsas esas explicaciones? En absoluto. Se trata de explicar que hay distintas geometrías, todas ellas matemáticamente correctas.

    De la misma manera que se generaliza el concepto de geometría a geometrías no planas (e incluso de signatura indefinida), uno generaliza el concepto de convergencia. No veo porque tiene un problema con uno y no con el otro…

  • Un objeto puede estar en movimiento o en reposo, según el punto de referencia que usemos. Esta demostración no es más que un ejemplo de como la realidad puede evaluarse de manera diametralmente opuesta según el punto de vista. Discutir sobre esta cualidad de observación es perder el tiempo.

  • @Someone: no intento escapar de nada. Desde el principio estoy diciendo que el vídeo es tendencioso porque está utilizando (sin decirlo) criterios de sumabilidad que no son los ordinarios del cuerpo de los números reales y/o no está sumando números reales. Con otros criterios de sumabilidad y/o otros objetos distintos de los números reales …puede tener sentido como las paralelas en caso de geométrias hiperbólicas o elípticas.

    Y me he equivocado, sí… Como dice “lamentira” el autor del vídeo confiesa al final el truco, es decir, que no está haciendo sumas tradicionales sobre números tradicionales. Pero es que el final del vídeo es un poco enredado, parecen repetirse los fotogramas, ¿no?

    Es de entender que el autor confiese el truco al final del vídeo. Si empieza diciendo eso… no habría gracia.

    Y relájate, hombre, que las matemáticas son divertidas. Deja de pegar tochos de latex en este foro. ¿No ves que no se compilan? :-)

  • @ HaLoHuBaMa: La suma como operación binaria es la suma en el cuerpo de los números reales, y eso está claro en el video. El problema está en que lo llaman “suma” de la serie no es lo que normalmente se entiende como suma de una serie, o sea, el límite de la sucesión de sumas parciales. Las manipulaciones término a término son un error si se utilizan para hacer pasar una serie divergente por una convergente, pero eso no es lo que se hace en este caso. La series son claramente divergentes, y se trata de buscar una forma de asignarles un valor, aún cuando no tienen suma.

    Ahora, si bien es cierto que la explicación no es realmente clara en ese sentido, no es cierto que se trate de una chorrada (y como bien dicen, esto se puede probar de manera más rigurosa utilizando prolongación analítica). Lo asombroso en todo caso no es tanto que puedan asignarse valores finitos a series divergentes, sino que esa asignación pueda tener alguna aplicación dentro de un modelo físico.

  • Me ha recordado esto……

    http://youtu.be/girlJhUials

    http://youtu.be/Ak0YXnGA97E

    ME gustan las mates, así que si alguien comenta esta serie divergente,…sería super

  • @ HaLoHuBaMa:
    Los matemáticos os preocupáis demasiado por ser correctos formalmente…. Hay que “ensuciarse” un poco las manos y mirar al infinito a la cara (sin olvidarse nunca de tener una Zeta de Riemann a mano).
    Desde luego, ser poco formal puede llevar problemas, ya sea por teoremas que no apliquen o por generalizaciones apresuradas (“ley fuerte de los números pequeños”).

    que las matemáticas son divertidas.

    ¿Acaso he dicho lo contrario? Cosas como el “teorema de los cuatro cuadrados” son preciosas.

    Deja de pegar tochos de latex en este foro. ¿No ves que no se compilan?

    Ya sé que no se compilan, pero se entienden igualmente. Además, ¿cómo si no voy a explicar la suma de Cesàro?

    @ Nicolás:

    Lo asombroso en todo caso no es tanto que puedan asignarse valores finitos a series divergentes, sino que esa asignación pueda tener alguna aplicación dentro de un modelo físico.

    En teoría cuántica de campos aparecen por todos sitios… Teoría de perturbaciones normalmente (aunque debería decir casi siempre) solo nos proporciona series asintóticas, el cálculo directo del efecto Casimir nos da un zeta(-3) que hay que regularizar… Sin embargo, esto no quiere decir que solo aparezcan en física cuántica, me parece que es Oliver Heaviside quien tiene un libro sobre electromagnetismo en que le aparecen este tipo de series e intenta entenderlas.

  • Vaya fantasmada. Mero ilusionismo matematico.
    Casi es mas divertido leer blogs magufos. En fin, cada cual con sus magufadas.

  • @ Q:

    Mero ilusionismo matematico.

    Lo que usted llama “ilusionismo” es un problema que trajo de cabeza a los grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX como Euler, Cauchy o Abel.

    Casi es mas divertido leer blogs magufos. En fin, cada cual con sus magufadas.

    Si usted prefiere chorradas, allá usted… La diferencia es que esto es formalizable y, además, se relaciona con efectos físicos observables como el efecto Casimir.

  • Q dijo:

    Vaya fantasmada. Mero ilusionismo matematico.
    Casi es mas divertido leer blogs magufos. En fin, cada cual con sus magufadas.

    Caramba, el Doctor sigue opinando, nos salvamos. Si te parece que los blogs magufos son más divertidos pues vé a ellos y no vengas a importunar aquí. Saludos.

  • lamentira dijo:

    al derivarla…
    0+1+2x+3x2+4x3+….=1/(1-x)2

    Y al volver a sustituir x por -1,

    1-2+3-4+…..

    obtenemos la serie S2, y que según esta fórmula, su resultado se corresponde con ¡ 1/4 ¡

    Creo que te falta un signo menos antes del primer 1 de la segunda parte de la igualdad. O eso, o mi cálculo diferencial está aún más oxidado de lo que creía: x^n deriva a n x^(n-1) ¿verdad? y entonces se corresponde con -1/4, si acaso. Esto es, si no se me ha colado algo por el camino.

  • @ Q:

    Sus comentarios tampoco es que sean como para echar cohetes…

  • @Someone: me ha gustado este párrafo tuyo:
    Los matemáticos os preocupáis demasiado por ser correctos formalmente… Hay que “ensuciarse” un poco las manos y mirar al infinito a la cara (sin olvidarse nunca de tener una Zeta de Riemann a mano). Desde luego, ser poco formal puede llevar problemas, ya sea por teoremas que no apliquen o por generalizaciones apresuradas.

    Me ha gustado porque mi ex-mujer estudió física teórica mientras yo estudiaba matemáticas. No imaginas la de veces que discrepábamos por temas similares y sus argumentos eran similares.

    Puntualizar sólo que no nos divorciamos por estas discusiones ni mucho menos. :-D

    Un saludo cordial.


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