Curiosidades matemáticas

matematicas

La serie de Fibonacci

La serie de Fibonacci es una secuencia de números que empieza con dos unidades, y que prosigue sumando los dos números anteriores.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

1+1=2

1+2=3

2+3=5

Esta serie fue definida por el matemático italiano Leonardo Pisano en 1202, conocido como Fibonacci, porque su padre se llamaba Bonacci (Fi- Bonacci = hijo de Bonacci). Esta seré obedecía a una representación matemática del número de parejas de conejo que se pueden criar, asumiendo que las conejas dan a luz siempre parejas compuestas por un macho y una hembra. Realmente esto no es así, ya que el conejo tiene camadas más numerosas, y no cada mes, pero imaginemos que es cierto.

conejos

En Enero tenemos una única pareja de conejos que dan a luz en febrero a otra pareja. En febrero, la pareja original volverá a tener descendencia, y sus crías también podrán tener. Si se sigue esta secuencia, se obtiene la serie de Fibonacci.

Esta serie puede observase en la naturaleza en ocasiones. Por ejemplo en el número de padres de una abeja macho. Los zánganos (1) provienen de huevos no fertilizados de la abeja reina, por lo que tienen solo un padre (1,1). La reina sin embargo, sí que tiene padre y madre (1,1,2). En la generación anterior, la madre de la reina era otra reina (con dos padres), y un zángano, con un solo padre (en total 3 abuelos) (1,1,2,3). Y la serie continúa así, siguiendo la secuencia de Fibonacci.

El número áureo

Al numero áureo se le representa con la letra griega phi (φ), y tiene un valor aproximado de 1,618. El rectángulo áureo es aquel compuesto por cuadrados cuyo lado sigue una progresión obtenida al dividir la longitud de sus lados por el número φ. Siguiendo con esta secuencia se pueden conseguir efectos visuales sorprendentes.

rect

Notad que si dividimos los números de la serie de Fibonacci por su antecesor se obtiene un número cercano a φ.

89:55=1,618

55:34=1,618

34:21=1,619

21:13=1,615

13:8=1,625

Puede encontrase el número áureo en la naturaleza, y también en el arte, aunque en este caso no se puede precisar si por simple accidente o por intención del artista. En algunos libros se afirma que si se dibuja un rectángulo alrededor de la cara de la Mona Lisa , la relación de la altura y el ancho de ese rectángulo es igual al número áureo. No existe documentación que corrobore que Leonardo utilizó conscientemente el número φ, aunque es cierto que el artista era amigo personal de Luca Pacioli, que publicó un tratado en tres volúmenes sobre la Proporción Áurea en 1509 (titulado La Divina Proporción ).

aureo

 

Los números perfectos

Seguramente conoces a los números primos, que son los números naturales que solo son divisibles por 1 y por si mismos. Pero hay otra clasificación de números todavía más selecta. Son los números perfectos, que son aquellos cuya suma de sus factores (exceptuando él mismo) suman el valor de ese número.

Son números perfectos:

6=1+2+3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

 

Terna pitagórica

Son conjuntos de tres números naturales que cumplen el teorema de Pitágoras: a² + b² = c²

Alguna de estar ternas son:

( 3 , 4 , 5 )

( 5, 12, 13)

( 7, 24, 25)

Estas ternas, que a principio pueden parecer algo banal, ofrecen posibilidades impresionantes. Por ejemplo el triángulo cuyos lados son 3, 4 y 5 unidades, era conocido por los egipcios, que lo llamaban ·el triángulo sagrado”, y lo utilizaban en sus construcciones para crear ángulos rectos.

495px-Egiptian_triangle.svg

 

Teorema de Fermat

La expresión an + bn = cn se cumple con números a,b y c naturales, como hemos visto, pero Pierre de Fermat conjeturó en 1637 que con potencias mayores que 2, es imposible que a,b y c sean naturales. Aunque parezca muy sencillo, este teorema no pudo ser demostrado hasta 1995, cuando Andrew Wiles presentó un artículo de ¡98 páginas! con la explicación matemática.

 

Números poligonales

Seguro que en alguna ocasión os habéis entretenido dibujando bolitas, colocándolas componiendo formas geométricas. Los números naturales necesarios para dibujar esas formas se llaman números poligonales.

Así, los números 1,3,6,10… son números triangulares. 1, 4, 9, 16 son números cuadrados, etc.

poligonales

 

El hotel de Hilbert

Si alguna vez os habéis alojado en un hotel y os ha parecido grande, es porque no conocéis el hotel de Hilbert. Es un hotel que tiene infinitas habitaciones. Obviamente, es un hotel imaginario, utilizado por el matemático alemán David Hilbert para explicar varias paradojas postuladas por Georg Cantor, en relación con el concepto matemático de infinito.

Dos grandes hoteleros querían hacer el hotel más grande del mundo, pero para asegurarse de que nadie construyese un hotel más grande que el suyo tendrían que hacerlo con infinitas habitaciones. El hotel fue construido e inaugurado, y pronto se llenó de infinitos huéspedes. Pero aun así había más gente que quería entrar en el hotel. Al recepcionista se le ocurrió la idea de pedir a los huéspedes que cogiesen su equipaje y se mudasen a la habitación resultado de multiplicar su número de habitación actual x2. Así todos se mudaron a una habitación par y quedaron libres todas las infinitas habitaciones con número impar. (Paradoja de infinito x2)

Georg Cantor de tanto darle vueltas al infinito y sus paradojas acabó en un psiquiátrico, así que no os obsesionéis con el concepto, no sea que se os vaya a ir la cabeza como a él.

 

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo es un problema matemático irresoluble, consistente en hallar con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo. De hecho, la expresión “esto es la cuadratura del círculo” se utiliza ante algo que no se puede resolver.

El problema se trató de resolver desde la antigüedad. Incluso los egipcios tenían mecanismos para aproximarse a la cuadratura del círculo, como se muestra en los problemas del papiro matemático de Rhind. Os aconsejo la lectura de esta otra entrada en este mismo blog que lo explica.

  • Lo del hotel de Hilbert invariablemente me saca una sonrisa. Es simplemente genial.

    Sobre la sucesión de Fibonacci y la razón áurea por otro lado, es interesante ver que todo se vuelve muy claro si se mira por el lado correcto. Por si hay alguien que no lo sepa todavía:

    La sucesión está definida de forma recurrente: a_{n+1}=a_n+a_{n-1}. Lo que quiere decir que cualquier término de la sucesión se puede escribir conociendo los 2 primeros y la relación de recurrencia que acabo de escribir. Mejor todavía, agregando a esa relación la ecuación trivial a_n=a_n, se puede escribir en forma matricial:(a_{n+1},a_n)^T=M^n(a_1,a_0)^T (la T es simple trasposición), donde la matriz M tiene entradas m_{11}=1, m_{12}=1, m_{21}=1, m_{22}=0.

    Para resolver entonces todo lo que hay que hacer es diagonalizar M. La ecuación característica es precisamente phi^2-phi-1=0 que aparece al resolver a+b/a=a/b, y que tiene como soluciones L_+=(1+sqrt{5})/2 y L_-=(1-sqrt{5})/2, de los que la primera es la razón áurea. El caso particular de la sucesión de Fibonacci es a_0=0 y a_1=1, lo que deja como solución (después de algunos cálculos) a_n=(L_+^n -- L_-^n)/sqrt{5}. Como L_- es menor que 1, para n>>1 se vuelve despreciable y a_n es aproximadamente igual a L_+^n/sqrt{5}. En el límite de n yendo a infinito resulta entonces a_{n+1}/a_n=L_+, como es sabido.

    Lo interesante de todo esto es lo que se deduce de la solución: La razón áurea y la relación de recurrencia de la sucesión son una y la misma cosa, vista desde diferentes “coordenadas”.

  • ¿que hay de misterioso en Fibonacci?, para un “escéptico”…. :-D

  • @ baneeustesss:
    Absolutamente nada. ¿No te gustó la entrada?

  • Curiosidades matemáticas hay en cantidad. Por añadir una, los “números de Munchausen”, aquellos que son iguales a la suma de sus cifras elevadas a si mismas. Solo existen dos números de este tipo: 1=1^1 y 3435=3^3+4^4+3^3+5^5.

    @ Nicolás:

    Lo del hotel de Hilbert invariablemente me saca una sonrisa

    Yo siempre he sido más de la cuadratura del círculo. Y idea detrás de la demostración no es demasiado complicada: básicamente con rectas y circunferencias se pueden resolver, como mucho, ecuaciones de segundo grado (ax^2+bx+c=0), y por lo tanto solo podremos construir números racionales, raíces cuadradas, raíces de grado cuatro… Y, puesto que pi es un número trascendente (lo cual sí es complicado de demostrar), no se puede construir el número pi.
    Además, esta demostración también sirve con los otros dos problemas clásicos: “duplicar el cubo” (dada la arista de un cubo, construir la arista de un cubo que tenga el doble del volumen) y “trisecar el ángulo” (dado un ángulo, dividirlo en tres ángulos iguales). Ambos por la misma razón: para construirlos hay que calcular la raíz cúbica de algún número, y las raíces cúbicas no se pueden construir por la misma razón que antes.

  • @ baneeustesss:

    A ver.., repita conmigo…: “Cuuurioosidaaades Maaatemáááticas..”

    Acaba de reafirmar nuestro conocimiento que no distingue Ud. un escéptico de una botella de Coca-Cola de dos litros..

  • 1= Punto.
    2= Linea.
    3= Triangulo.
    4= Cuadrado.
    5= Pentagono
    6= Hexagono.
    Todo es Geometria, todo son Numeros. El Universo es una ecuacion, todo lo demas es Ilusion.

  • @ E.T:
    0=Tu inteligencia.

  • @ baneeustesss:

    De diez cosas te has equivocado en once.

  • Chiste matemático

    Nicolás dijo:

    …Hilbert invariablemente me saca una sonrisa.

    :meparto: …”invariantemente” también vale :meparto:

  • baneeustesss dijo:

    ¿que hay de misterioso en Fibonacci?, para un “escéptico”….

    Nada. Al contrario, es muy atractivo para los conspiranoicos junto con el número áureo, y les adjudican un carácter mágico. El problema es que no saben explicar el porqué.

  • la mentira dijo:

    En algunos libros se afirma que si se dibuja un rectángulo alrededor de la cara de la Mona Lisa , la relación de la altura y el ancho de ese rectángulo es igual al número áureo.

    Creo que viniendo de Leonardo Da Vinci nada puede ser casualidad, eso a riesgo de pasar por magufo. :-D
    Muy buena la entrada. En una época me encantaba la matemática. Me hizo acordar mis tiempos de estudiante.

  • @ Someone:

    También es muy interesante la cuadratura. En algún momento se me ocurrió que la imposibilidad podría reducirse a la imposibilidad de encontrar una forma suficientemente “decente” de mapear el círculo en un cuadrado, donde por “decente” debe entenderse que verifica determinadas condiciones (obviamente relacionadas al método de construcción). Pero finalmente lo dejé de lado :-D

    @ Tru:

    :meparto: Además es cierto (Aunque sería preciso aclarar que la invariancia es frente traslaciones temporales)

  • @ CarlosR:
    ..para eso te tienen a ti, ya que pareces el único listo en el foro. :-D
    …y no olvides la fotografia….

  • Sobre el cálculo de ángulos, bisectriz y trisectriz, como dibujante no me había parado a pensar en las aplicaciones practicas más allá de la representación gráfica. De ahí que confíe más en el compás que en la calculadora y el transportador (y el hecho de que la rotación del brazo de mi mesa de dibujo esté dividida en tercios de angulo recto ayuda también, no voy a mentir).

    Quería simplemente compartir la anécdota.

    Sun salud¤.

  • Buena, entrada. Gracias, Don Menti.

    Y para que todo no sea ver como se pasean sonrientes los más listos de la clase, mates para todos los gustos:

    Una en la que aunar matemática y otras cosillas: los cuadrados mágicos en Aragón:

    http://catedu.es/matematicas_mundo/CURIOSIDADES/cuadrados_magicos_Aragon.htm

    Y ya que estamos, música con aire matemático:

    https://www.youtube.com/watch?v=wK7tq7L0N8E&feature=youtu.be

    Y, finalmente, matemáticas en la vida social:

    ARITMÉTICA DE OFICINA:

    Jefe inteligente + empleado inteligente = Beneficio

    Jefe inteligente + empleado tonto = Producción

    Jefe tonto + empleado inteligente = Ascenso

    Jefe tonto + empleado tonto = Horas Extras

  • Buenas tardes. Es la primera vez que leo LA MENTIRA ESTÁ AHÍ FUERA y me parece interesante. He estado buscando algún artículo que trate el Holocausto, pero no he encontrado nada. ¿Tenéis pensado tocar el tema en el futuro? Gracias

    La verdad se corrompe tanto con la mentira como con el silencio.
    Cicerón

  • Buena entrada! me gusta mucho este tipo de posts :)

  • 1984 dijo:

    La verdad se corrompe tanto con la mentira como con el silencio.
    Cicerón

    El silencio entorno al holocausto y a cualquier cosa puede que corrompa el recuerdo de lo que pasó, aunque quien sabe, también la maledicencia lo hace, ¿en qué deposita más confianza?: ¿el trabajo arqueológico, historiográfico, futuro, o el boca a boca a través de los siglos?. Quien sabe; así planteado nos olvidamos de lo ya visto y su conservación, el recuerdo citado; lo dicho hasta el mometo es tremendamente exhaustivo y no hay mentira en los hechos. En cualquier caso se puede tratar como la mentira fué utilizada por la cúpula nazi para hacer lo que hicieron.

    El holocausto era un secreto a voces; se inculcó el odio a los judíos y se utilizó como arma política que luego tuvo, y hubo, de ser sustanciada,(el botín que podrían repartirse los perpetradores en pro de su causa y la mano de obra esclava también ayuda). El holocausto se hizo con mentiras, fué cosa de utilizar a la masa, la encubridora de las mismas; este es el peor silencio, el que encubre las mentiras. Ahora es cosa, en efecto, de recordar y aprhender de ese recuerdo. Cuando llegue alguien y le diga que los musulmanes son muy malos, recuerde que la masa busca enemigos para unirse…(y no hablo de Bruce Banner y Los Vengadores)…

  • Tru dijo:

    El holocausto era un secreto a voces; se inculcó el odio a los judíos y se utilizó como arma política que luego tuvo, y hubo, de ser sustanciada,

    Un “trabajo” de siglos que aún continúa. Lamentable.

  • @ CarlosR:

    Si. Pero estamos montando un off-topic…como 1984 era la primera vez que posteaba cabría recomendar que tratase allí el tema…o lo sugiriese en el foro.

  • @ Tru:
    :enfado:

  • elojoktodolove dijo:

    @ CarlosR:
    ..para eso te tienen a ti, ya que pareces el único listo en el foro.
    …y no olvides la fotografia….

    No olvides tus vacunas bien llenitas de mercurio. :)

  • E.T dijo:

    El Universo es una ecuacion, todo lo demas es Ilusion.

    ¡Y todo acaba en “on”, menos salchichón…que acaba en cuerda!


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