Con π de pirámide

pi

Hoy en día todavía hay mucha gente que cree que las pirámides fueron construidas por extraterrestres o atlantes. Los primeros cristianos y musulmanes creían que fue el propio Dios el que las creó. No hemos cambiado mucho en estos últimos siglos. Solo hemos remplazado una túnica por un traje espacial.

Un interesante argumento que apunta a que fue una inteligencia super avanzada la que diseñó las pirámides de la 4ª dinastía en Giza, es la presencia insolente del número \pi en sus dimensiones, cuando según los egiptólogos, los egipcios no conocían los números reales, y solo se manejaban con fracciones de números enteros.

Recordemos que el número \pi es el resultado de dividir el perímetro de una circunferencia entre su diámetro, y su valor es 3,1416.

¿Dónde aparece el número \pi en las pirámides?

Los lados de la gran pirámide de Giza tienen las siguientes longitudes

  • Lado Oeste: 230,357 m
  • Lado Norte: 230,253 m
  • Lado Este: 230,391 m
  • Lado Sur: 230,454 m

Por lo tanto, el perímetro de la pirámide es:

P =  230,357 + 230,253 + 230,391 + 230,454 = 921,455 m

La altura de la pirámide es 146,5 m.

Si el perímetro de una circunferencia es:

P = 2 · \pi · r

donde r es el radio, entonces

\pi = { P \over 2 * r}

Sustituyendo P por el perimetro de la pirámide y r por la altura obtenemos:

\pi = {921,455 \over 2* 146,5} = 3,1449

Una buena aproximación al número \pi, con un error de solo 3 milésimas. ¿Casualidad?

 

El papiro matemático de Rhind

Este papiro data del 1800 a.C. aproximadamente y contiene el enunciado y resolución de 87 problemas matemáticos, por lo que es un elemento valiosísimo para entender el nivel de conocimiento que tenían los egipcios en la época de las pirámides. En este papiro hay varios problemas interesantes pero fijémonos ahora en el número 50. El enunciado del problema plantea cómo calcular el área de un círculo que tiene 9 unidades de diámetro (digamos metros). Para resolverlo se explica que hay que quitar 1/9 del diámetro y al resultado multiplicarlo por si mismo. El resultado es el mismo que el área del circulo.

rhind

Los egipcios tenían una curiosa manera de multiplicar. Por ejemplo para calcular el valor de 8 * 9, tomaban una de las dos cifras a multiplicar y hacían una tabla como la siguiente, en la que se duplicaba el valor en cada iteración

1…8    «

2…16

4…32

8…64  «

Como se quiere multiplicar por 9, tomamos los valores asociados al 8 y al 1 y los sumamos: 72 (que es 8×9)

En el problema que nos atañe, es incluso más fácil, ya que hay que tomar el valor asociado al 8: 64 m^2(8×8). El valor real de la superficie de la circunferencia es:

 

A = \pi · r^2 = 63,6173 m^2

 

El resultado es bastante aproximado. Pero lo más inquietante es que en base a este método de cálculo se podría inferir un valor aproximado a \pi expresado como fracción de números enteros:

a: área
d: diámetro
r: radio (2*r)=d

a = (d-{d\over 9})^2

a= (d * (1- {1 \over 9}))^2

a= (d * {8 \over 9})^2

a= d^2 * {64 \over 81}

a= (2 * r)^2 * {64 \over 81}

a= 4 * r^2 * {64 \over 81}

a= r^2 * {256 \over 81}

Según esta aproximación, los egipcios estaban aproximando a \pi con la fracción {256 \over 81} = 3,1605. ¿Otra coincidencia? Posiblemente si. Lo más seguro es que los egipcios empíricamente se hubiesen dado cuenta de que la aproximación detallada en el problema 50 del papiro de Rhind era lo suficientemente buena para darla por válida.

Si realmente hubiesen descubierto este factor constante en todas las circunferencias, no lo manejarían como {256 \over 81}, sino como fracciones de numerador igual a la unidad:

 

{256 \over 81} = 3 + {1 \over 9} + {1 \over 27} + {1 \over 81}

 

Pero estas fracciones son muy incómodas de manejar en el sistema egipcio de multiplicación, pues todos los denominadores son impares, y ellos siempre trataban de evitarlos.

 

Explicaciones
Una  explicación sencilla a la presencia de \pi en las proporciones de la gran pirámide es la manera en la que se construían. Por ejemplo, en los problemas 56 a 60 del papiro matemático de Rhind se enseña a calcular la pendiente de las paredes de una pirámide, lo que ellos conocían como seked. Para los egipcios el seked era la distancia en el plano horizontal que se desplaza la pared de la pirámide por cada codo que se levanta en altura. Un codo equivale aproximadamente a 0,523 metros. Un codo = 7 palmos y un palmo=4 dedos.

La pirámide de Keops tiene un seked de 22 dedos, o bien de 5½ palmos. Eso quiere decir que por cada codo que se eleva, pierde 5 palmos y medio en el plano horizontal.

seked jufu

Debido a la relación entre dedos y codo de 1 a 28, los egipcios podían construir con 28 sekeds distintos, desde 1, casi vertical, a 28 (45 grados). Todas las pirámides de Egipto están construidas con uno de estos sekeds, pero los mas comunes eran el 22, el 21, 19, 23 y 24. Hay alguna excepción que tiene un seked de más de 28 dedos, como la de Sneferu (30), con una inclinación algo menor de los 45º.

Los egipcios construían las pirámides desde fuera hacia dentro. Primero colocaban las piedras exteriores que eran cortadas con el seked de la pirámide, y luego se rellenaba el interior. Al llevar implícito este ángulo de inclinación de 51º 50’ 34”, por mera coincidencia se cumple lo expuesto en la primera parte de este artículo, al igual que ocurre en las pirámides de Huni y de Niuserra, y no ocurre por ejemplo en la de Micerinos, que tiene un seked de 23.

Hay otra teoría que a mi me gusta más (aunque no quiera decir que sea más plausible). Al medir la longitud de los lados de la pirámide normalmente habrían usado una cuerda, pero en distancias tan grandes como 230 metros, hasta las cuerdas más sólidas tienen cierta elasticidad. Es posible que en vez de utilizar una cuerda utilizasen una rueda para medir la longitud, con lo que se evitaría este problema. Imaginad una rueda cuyo diámetro sea un codo (0,523 m.) y por tanto su perímetro sea 1,643m. Para conseguir alcanzar los 230 metros de lado de la pirámide, debió de dar 140 giros completos. Si para calcular la altura se hubiesen estimado apilar tantos diámetros como el doble de giros dados por la rueda para dibujar el lado, entonces la altura sería 2 · 140 * 0,523m =  146,44m, exactamente la altura de la pirámide. En este caso también habría quedado grabada la impronta del número \pi en las dimensiones de la pirámide, sin que los egipcios hubiesen tenido constancia de ello realmente.

Referencias:

http://www.3viajesaldia.com/el-misterio-de-pi-y-las-piramides-de-egipto/

http://www.egiptomania.com/jeroglificos/articulo/relaciones.htm

http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/aritmetica_fracciones.htm

http://www.egiptologia.com/todo-sobre-las-piramides/88-articulos-sobre-las-piramides-de-egipto-en-general/2432-conocian-los-antiguos-egipcios-el-numero-pi.html

 

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  • Anónimo dijo:

    “Es posible que en vez de utilizar una cuerda utilizasen una rueda” … Lamentablemente los egipcios no conocían la rueda en esa época.

    Te se nota kas hynbestygao la rehostia
    http://www.institutoestudiosantiguoegipto.com/Transporte%20piedras2.htm

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  • Es fácil “descubrir” y entender el número Pi. Toma una circunferencia y enrolla una cuerda a su alrededor. La cantidad de cuerda justa para cubrir todo el perímetro es exactamente 3.1416 veces que el diámetro de esta. Hasta un niño lo entendería.

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  • @ Filthy AnimaL:

    Si, por eso tenemos el nivel de matemáticas que tenemos…

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  • A mí lo único que me asombra a día de hoy es la capacidad que tenían para, sin servirse de maquinaria, manejar pedrolos de hasta 60 toneladas. Qué pedazo de bestias!! :loco:

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  • @ Jiskal:
    Qué avispados, diría yo. Sin maquinaria se han movido bloques de hasta unas 1500 toneladas. Y los egipcios movieron bloques muchísimo más grandes: el coloso de Ramsés II en el Ramesseum podría haber alcanzado las 1000Tm (y encima lo desplazaron más de 270km por tierra). Y sólo es uno de los ejemplos de pedruscos enormes que han movido los egipcios.

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  • Sí. Es lo que yo no entiendo todavía. Sin hacer uso de poleas… y aún en el caso de que hubieran hecho uso de ellas… me parece increíble que lograsen moverlas. Ya no te cuento por arrastre sobre una plataforma. Nada más que hace falta estudiar un poco de física para darte cuenta de las fuerzas que hay que vencer: gravedad, rozamiento, resistencia de material… Parece sencillo, pon 30, 50, o 100 tíos a tirar del pedrusco, pero al final si haces los cálculos te salen barbaridades como que tendrían que tirar del bloque más de 600 tíos para que cada uno se encargara de mover 100 kilos, y eso si no tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento, que en bloques de ese tamaño viene a ser bastante importante, ni la inclinación de la rampa… Uf, pues eso, que es una pena que no dejaran planos de cómo demonios llevaron a cabo las fases de la construcción. Quién sabe, quizás hasta aprendiéramos algo nuevo incluso con la técnica que tenemos hoy en día. :nose:

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  • Jiskal dijo:

    Sí. Es lo que yo no entiendo todavía. Sin hacer uso de poleas… y aún en el caso de que hubieran hecho uso de ellas… me parece increíble que lograsen moverlas.

    Y sin embargo lo hicieron.

    Ya no te cuento por arrastre sobre una plataforma. Nada más que hace falta estudiar un poco de física para darte cuenta de las fuerzas que hay que vencer: gravedad, rozamiento, resistencia de material…

    Sólo la presión: la resistencia del material depende de la distribución de presiones, el rozamiento depende de la distribución de presiones. Las rampas inclinadas requerir un poco de arrastre extra, pero los egipcios se cuidaban mucho de ajustar las rampas.

    Parece sencillo, pon 30, 50, o 100 tíos a tirar del pedrusco, pero al final si haces los cálculos te salen barbaridades como que tendrían que tirar del bloque más de 600 tíos para que cada uno se encargara de mover 100 kilos, y eso si no tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento, que en bloques de ese tamaño viene a ser bastante importante, ni la inclinación de la rampa…

    Agradecería que explicaras un poco más tus cálculos: si no tienes en cuenta el rozamiento o la inclinación de la rampa, una persona es suficiente para mover un bloque de 60Tm. Eso sí, no esperes que tenga una gran aceleración ;-)
    Por contra, si empezamos a considerar el rozamiento… el coeficiente de rozamiento de la madera puede ser inferior a 0.1 en circunstancias muy favorables. Pero supongamos que es 0.2 como parece ser en la mayoría de los ejemplos del enlace que he puesto: las 60Tm se convierten en 12Tm. Y ahora probablemente no necesites 600 personas para mover el bloque.
    Añadamos una pendiente del 1%: una centésima del peso del bloque “tira hacia abajo”, que son 600Kg. Y tienes que una masa de 60Tm requiere una fuerza de 13Tm para desplazarla con cierta holgura.

    Uf, pues eso, que es una pena que no dejaran planos de cómo demonios llevaron a cabo las fases de la construcción. Quién sabe, quizás hasta aprendiéramos algo nuevo incluso con la técnica que tenemos hoy en día.

    Permíteme dudarlo: como ya he dicho, sin máquinas ya se movieron bloques muchísimo más grandes. Y, hoy día se han hecho construcciones muchísimo más difíciles que las pirámides en periodos de tiempo mucho más cortos. Si bien hay que reconocerles el ingenio, me parece que en técnicas de construcción hay muy poco que aprender de ellos. Los que sí se lo curraron fueron los romanos, que desarrollaron un hormigón capaz de aguantar el agua de mar durante siglos sin romperse… pero hace relativamente poco se descubrió cómo lo hacían.

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  • @ MaGaO:

    Perdona, MaGaO, pero eso de que

    MaGaO dijo:

    los romanos, que desarrollaron un hormigón capaz de aguantar el agua de mar durante siglos sin romperse… pero hace relativamente poco se descubrió cómo lo hacían.

    Me interesa a título de curiosidad personal ¿No tendrás a mano algún enlace en el que se hable de la técnica y de la compsoición?.

    Gracias adelantadas.

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  • Doc Halliday dijo:

    @ MaGaO:Perdona, MaGaO, pero eso de queMaGaO dijo:los romanos, que desarrollaron un hormigón capaz de aguantar el agua de mar durante siglos sin romperse… pero hace relativamente poco se descubrió cómo lo hacían.Me interesa a título de curiosidad personal ¿No tendrás a mano algún enlace en el que se hable de la técnica y de la compsoición?. Gracias adelantadas.

    En este caso se me quedó clavado el hecho de que usaran cenizas volcánicas en la mezcla: véase más al respecto.

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  • @ MaGaO:
    Jaja, vale, muchas gracias por contestar. Ahora ya me queda un poco más claro el tema. :alaba: Lo que no entiendo aún es lo de que las 60 toneladas se convierten en 12. Podrías explicármelo más detalladamente? :-D

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  • Jiskal dijo:

    @ MaGaO:Jaja, vale, muchas gracias por contestar. Ahora ya me queda un poco más claro el tema. Lo que no entiendo aún es lo de que las 60 toneladas se convierten en 12. Podrías explicármelo más detalladamente?

    La fuerza de rozamiento es el producto del peso por el coeficiente de rozamiento (una constante que depende de las características propias de las superficies en rozamiento y la superficie de contacto) por el coseno del ángulo que forma la superficie de rozamiento con la horizontal.
    Ignorando el detalle de que el coeficiente de rozamiento estático (cuando hay que iniciar el movimiento del objeto sobre la superficie) es superior al dinámico (cuando el objeto ya está en movimiento y hay que mantener dicho movimiento) y suponiendo que la superficie es horizontal (para que el coseno sea 1), la fuerza de rozamiento se reduce al peso del objeto por el coeficiente de rozamiento. Así, una masa de 60Tm genera un peso de 60.000 kilopondios (un kilopondio es 1kg*9,8m/s^2, el “peso” de una masa de 1kg) que, multiplicado por el coeficiente de rozamiento (0,2 según los datos típicos del enlace que puse para madera sobre diferentes superficies), resulta una fuerza de resistencia de 12.000 kilopondios. Si suponemos que una persona media es capaz de ejercer una fuerza de empuje de unos 30kilopondios (véanse unas tablas al respecto, en libras, y recuérdese que 1lb=0,454kg aproximadamente), entonces mover esas 60Tm requieren unas 400 personas. No es una cantidad pequeña, lo reconozco, pero sí asequible para un imperio como el egipcio. Más aún, hablo de la fuerza media que puede ejercer una persona: cabe esperar que los contratados para tirar de estos bloques tengan un entrenamiento (aunque sólo sea a base de tirar un día tras otro de estas cosas) que los haga capaces de empujar más que una persona media.
    Nota: hablo de empujar porque las pinturas egipcias muestran a los porteadores inclinados hacia adelante, no tirando de espaldas.
    Oops, se me pasó el detalle importante: cuando “convierto” las 60Tm en 12Tm es porque asimilo kilogramos de “peso” a los kilopondios que he usado en la explicación anterior. Si trabajásemos con newtons, la unidad de fuerza del SI, entonces el peso de la masa de 60Tm serían 588kN y la fuerza de resistencia sería 117,6kN. Pero pienso que es más comprensible trabajar con “toneladas” de fuerza por simplificar el asunto :-)

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  • @ MaGaO:

    Gracias por el enlace. ha sido muy amable de tu parte.

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