La más asombrosa demostración matemática que nunca hubieras podido imaginar

nodoce

Si te digo que el resultado de sumar los infinitos números naturales no da infinito, sino que da como resultado un número real, y encima negativo, seguramente pensaréis que debo dejar de escribir a estas horas de la noche y con un cubata al lado. Pero sin embargo es cierto. La fórmula

formula

no solo es demostrable, sino que es de especial trascendencia en la teoría cuántica de campos, y en la teoría de cuerdas.

Si no lo habéis visto todavía, no os perdáis el vídeo. Tiene subtítulos en español. Si no aparecen automáticamente, seleccionar “Español” en la opción de subtítulos de youtube (a la izquierda de la ruedecita dentada).

22/4/2014

En los comentarios ha habido debate en relación al cálculo del resultado de la serie

S_{1} = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

En el vídeo, se ha tratado de primar en la simplicidad de la demostración para que sea accesible al mayor número de personas posibles. Pero se pueden obtener esos valores de otras maneras más sofisticadas.

La serie siguiente, es convergente y se cumple para todos los valores de x comprendidos entre -1 y 1, ambos no inclusive.

1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + ... = \frac {1}{(1-x)}

Los puntos 1 y -1 son puntos de singularidad. Al sustituir la x por un 1, la parte de la derecha de la igualdad es una división entre 0 que da como resultado infinito. Pero en el punto infinitamente próximo al 1, por el lado del 0, la igualdad se cumple. A medida que x sobrepasa el valor 1, la serie se hace divergente y deja de ser válida.

Lo mismo pasa por la izquierda. En el punto infinitamente próximo al -1 por el lado cercano al 0, la igualdad se cumple. Pero en este caso, al sustituir el valor de x por -1, el resultado no se dispara al infinito, sino que vale \frac {1}{2}.

Si observamos, vemos que la serie se ha convertido en la S_{1} del vídeo.

 S_{1} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = \frac {1}{2}

En este caso la singularidad no se produce por dispararse al infinito, sino por entrar en una indefinición. Realmente puede valer, 1 o 0. Pero el punto infinitamente próximo a -1, estaba infinitamente próximo a  \frac {1}{2}.

Ahora bien, si derivamos a ambos lados de la igualdad, obtenemos que:

\frac{\partial}{\partial x} ( 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + ... ) = \frac{\partial}{\partial x} \frac {1}{(1-x)}

1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + 5x^{4} + ... = \frac {1}{(1-x)^{2}}

Y si sustituimos ahora x por -1, obtenemos el resultado de la serie S_{2} del vídeo

S_{2} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 ... = \frac{1}{4}

Y el resto de la demostración sería igual que en el vídeo.

  • @ MaGaO:

    Creo que te falta un signo menos antes del primer 1 de la segunda parte de la igualdad. O eso, o mi cálculo diferencial está aún más oxidado de lo que creía: x^n deriva a n x^(n-1) ¿verdad?

    No, no falta el signo menos. Seguramente es que estés pensando en 1/(1+x) en lugar de 1/(1-x). En el segundo caso te aparecen dos factores (-1) que se cancelan, uno por la derivada del exponente (como has dicho, x^n deriva a n x^(n-1)), y otro porque tienes -x en lugar de x. Por lo tanto la derivada de (1-x)^(-1) es (1-x)^(-2).

    @ HaLoHuBaMa:

    Me ha gustado porque mi ex-mujer estudió física teórica mientras yo estudiaba matemáticas. No imaginas la de veces que discrepábamos por temas similares y sus argumentos eran similares.

    Seguramente sean similares porque yo también he estudiado física teórica…

  • MaGaO dijo:

    Creo que te falta un signo menos antes del primer 1 de la segunda parte de la igualdad. O eso, o mi cálculo diferencial está aún más oxidado de lo que creía: x^n deriva a n x^(n-1) ¿verdad? y entonces se corresponde con -1/4, si acaso. Esto es, si no se me ha colado algo por el camino.

    Yo también lo tengo un poco oxidado- La derivada de f(g(x)) es f’(g(x))g’(x). La regla que has aplicado es correcta, pero luego hay que multiplicar por la derivada de g(x)=1-x que es -1

  • @ Someone: La verdad, yo me enteré de que estas cosas existen gracias a QFT (dejando de lado las series asintóticas de la teoría de perturbaciones), y solo en ese contexto las vi aparecer. Las series no son algo que me apasione, la verdad :-D . Ni sabía que aparecían también en la teoría electromagnética, aunque no debería sorprender tampoco.

  • Párenme los pies cuando vean oportuno caballeros: si digo que la suma de infinitos números naturales es una aplicación dentro del conjunto de los números naturales…¿el conjunto de, verbigracia, electrones existentes en el universo en un mismo instante, asignándole un número a cada uno, es un conjunto equivalente que satisfará el conjunto de los números naturales en la medida en donde detengamos la serie?…¿se podría escribir una “gran historia” del universo con matemáticas discretas?…¿podemos describir, cuánticamente, el universo discretamente?, es decir, manejando el conjunto de los números naturales exclusivamente…?

  • Interesante esto de las series divergentes, pero tengo unas dudas y como no soy ni matemático ni físico teórico os agradecería que tuvieseis paciencia por las tonterías que pueda decir.

    Vamos a ver, dar un valor al sumatorio de las series -1,1,-1,… o 1,2,-3,4,… lo veo claro por el desarrollo que habeis dado y hacia donde tienden las sumas de las series para valores cercanos a -1. Lo que pasa es que, si he de dar validez a los cálculos presentados, veo igualmente válido el cálculo de Marcelo Sobottka y entonces 0=1, o cualquier otro que se nos antoje, como hacer S-S1 y obtener que S1=1, cuando S1=1/2.

    ¿Donde está el “truco” o los límites de aplicabilidad de estos cálculos?. Es decir, ¿puedo operar así con series que son sumables Cesàro mezclandolas con otras que no lo son?. ¿Qué tiene que ver el hecho de que la suma de las series para las que los resultados me resultan aceptables con que las series oscilen entre valores negativos y positivos?

  • @ Sahumerio:

    Lo que pasa es que, si he de dar validez a los cálculos presentados, veo igualmente válido el cálculo de Marcelo Sobottka y entonces 0=1, o cualquier otro que se nos antoje, como hacer S-S1 y obtener que S1=1, cuando S1=1/2.

    El problema es que hay que tener mucho cuidado con la reordenación de la serie ya que no siempre está permitido. Se dice que una serie es incondicionalmente convergente (es decir, que su suma converge al mismo número si reordenamos los términos de la serie) si dicha serie es absolutamente convergente (es decir, si la suma de los valores absolutos de cada término es convergente).

    Si no es así, existe un teorema llamado “teorema de reordenación de Riemann” que te dice que si la serie no es absolutamente convergente, puedes reordenarla para que su suma te de lo que te de la gana. (Para más información: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem) Por eso los cálculos de Marcelo Sobottka no son válidos.

    Por todo esto lo que la gente hace es “definir” un “método de sumado” de estas series divergentes de manera que esta “suma” tenga propiedades decentes (como que ese método de sumado el resultado correcto en series convergentes, o tenga la propiedad de traslabilidad).

  • @ Someone:
    Pero el teorema de reordenación de Riemann exige, entre otras cosas y si he entendido bien, que haya una cantidad infinita de positivos y negativos en la serie y no sería aplicable a lo que dice Marcelo.

    Permiteme seguir abusando de tu paciencia:

    El método de suma elegido que se quiera vale para las series -1,1,-1,.. y similares, pero no para aquellas divergentes, en las que se obtiene el valor de forma puramente aritmética resolviendo una ecuación, a lo que le veo estos problemas:

    Cuando se llega a S-S2=4S se ha llegado a infinito=infinito y ¿realmente se puede seguir operando como si se tratase de una ecuación cualquiera?. Hay que tener en cuenta que dividiendo por un número cada vez mayor M llegamos a que S2/M tiende a 0, quedando S/M=4S/M.

    Otra cosa, si S-S2 lo vemos en forma de sumatorio, tenemos 0+4+0+8+0+12+… que es distinto a 4·S=4·(1+2+3+4+…), por lo menos si sumamos en ambos casos hasta el término n que elijamos.

    Y, sobre todo, gracias por responder.

  • @ Sahumerio:

    el teorema de reordenación de Riemann exige, entre otras cosas y si he entendido bien, que haya una cantidad infinita de positivos y negativos en la serie

    Sí, tienes razón. Una serie que tenga convergencia condicionada tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, no había caído en ello.

    no sería aplicable a lo que dice Marcelo.

    En concreto es que parece ser que suma repetida de unos parece ser inestable (o intrasladable) bajo cualquier criterio de sumabilidad (es decir, que no se puede hacer la traslabilidad que ha hecho Marcelo).

    pero no para aquellas divergentes, en las que se obtiene el valor de forma puramente aritmética resolviendo una ecuación

    Bueno, hay otros métodos, como es el uso de la función zeta de Riemann (donde la gente hace cosas llamada “continuaciones analíticas” para extraer resultados).
    Por ejemplo, el caso de Marcelo corresponde con zeta(0)=-1/2

    Cuando se llega a S-S2=4S se ha llegado a infinito=infinito y ¿realmente se puede seguir operando como si se tratase de una ecuación cualquiera?

    Como he dicho antes, una de las cosas que les pides a estos “métodos de sumado” es que sean lineales, es decir, si tenemos dos series a_n y b_n con sumas A y B, entonces se tiene que la serie c_n=a_n +b_n tiene suma C=A+B, y que la serie d_n=(constante)*a_n tiene suma D=(la misma constante)*A

    Otra cosa, si S-S2 lo vemos en forma de sumatorio, tenemos 0+4+0+8+0+12+… que es distinto a 4·S=4·(1+2+3+4+…)

    Desde luego, la parte de que se puede sacar el factor 4 multiplicando fuera de la suma es indiscutible. Lo de quitarse de en medio los términos que son cero parece algo natural de hacer, pero ahora mismo no sabría demostrarte formalmente que se pueda (seguramente sea que la serie sí es trasladable).

  • Buenas, mucho tiempo sin escribir por aquí

    Hombre, yo de matemáticas, justito, justito, pero eso que has puesto que dividir entre cero da infinito…como que no. O mucho me equivoco, o dividir entre cero es una indeterminación; no se puede dividir entre cero

  • No voy a ponerme a mostrar que esto esta mal.. Espero q sea una simple curiosidad y no lo tomen enserio, ese no es el resultado porque hay dos cosas mal en ese planteo.. Si los posts siguientes van a ser asi pierden un lector.. Alguien que haga lamentira de lamentira?..

  • Bueno, y aparte de lo dicho anteriormente, sin haber visto el vídeo (en el trabajo no puedo, ejem ,ejem) y sin conocimientos de matemáticas avanzadas, me da a mí que eso es una chorrada. Algún “truco” debe tener esa demostración. Es tan simple como que estás sumando números sin parar por toda la “eternidad” ¿Cómo coño, pues, va a dar -1/12?

  • KURRUPYPY dijo:

    Es tan simple como que estás sumando números sin parar por toda la “eternidad” ¿Cómo coño, pues, va a dar -1/12?

    Porque las matemáticas, en el infinito, no son simplemente sumar todo hasta que llegues al final (es infinito, no puedes llegar). Por esa regla de tres, la suma 1+1/2+1/4+1/8… tampoco se podría hallar. Y resulta que vale 2.
    En este caso hay varias formas de expresar 1-1+1-1+1-1…
    Una, muy “de andar por casa”, es la que he escrito antes:
    S=1-1+1-1+1-1…=1-(1-1+1-1+1…)=1-S
    2S=1
    S=1/2
    Yo tampoco tengo grandes conocimientos de matemáticas, así que me ha sido imposible hallar soluciones distintas a 1, 1/2 ó 0. Quizá tengas más suerte tú.

  • No sé, yo es que leo esto:

    “Si te digo que el resultado de sumar los infinitos números naturales no da infinito, sino que da como resultado un número real, y encima negativo….”

    1+2+3+4+….=-1/12

    …Y sigue pareciéndome una chorrada, al menos puesto tal que así.

    ¿Y eso que pones la suma valdría 2 o el límite de eso tiende a 2?

  • @ KURRUPYPY:
    La suma vale 2. Alternativamente, puedes usar la suma: 1+9/10+9/100+9/1000+… que también es 2.

  • @ KURRUPYPY:
    Entiendo que te pareca una chorrada. Pero hay que tener en cuenta lo siguiente: los modelos en que se usa sólo funcionan cuando es -1/12, y se puede hallar una suma que dé matemáticamente ese valor. Quizá no es todo lo limpio que se podría desear matemáticamente hablando, pero funciona aunque sea contraintuitivo.

  • MaGaO dijo:

    @ KURRUPYPY:
    Entiendo que te pareca una chorrada. Pero hay que tener en cuenta lo siguiente: los modelos en que se usa sólo funcionan cuando es -1/12, y se puede hallar una suma que dé matemáticamente ese valor. Quizá no es todo lo limpio que se podría desear matemáticamente hablando, pero funciona aunque sea contraintuitivo.

    Tendría que ver el vídeo, pero seguro que me perdería igual…Lo siento

  • He estado pensando que el concepto de infinito es importante en estos cálculos. Os adjunto una pequeña demostración que hace uso del concepto de multiples infinitos y permite resolver la problemática que nos atañe:

    http://i60.tinypic.com/4lloxf.jpg

    No se si he cometido algún error y ,en todo caso, supongo que habrá demostraciones más serias, pero es lo que se me ha ocurrido.

    En cuanto a la convergencia de las series que he llamado “oscilantes” (1,-1,1,…), también se me ha ocurrido que su sumatorio tiene como sentido físico el que representa un punto de equilibrio entre oscilaciones completas. Como una partícula que quiere vibrar entre las posiciones definidas por las oscilaciones pero su velocidad no se lo permite y queda atrapada en esa posición de equilibrio. ¿Podría ser?. En las series divergenes no “oscilantes” ese punto de equilibrio no existe y por lo tanto no se puede definir su sumatorio.

    Es dificil encontrar información en la web. Ni siquiera he encontrado lo que es una serie trasladable.

  • @ Sahumerio:

    Os adjunto una pequeña demostración que hace uso del concepto de multiples infinitos y permite resolver la problemática que nos atañe:

    http://i60.tinypic.com/4lloxf.jpg

    En realidad, esa ecuación que escribes es un caso particular de la propiedad de linealidad que he puesto antes: “si tenemos dos series a_n y b_n con sumas A y B, entonces se tiene que la serie c_n=a_n +b_n tiene suma C=A+B”.

    En cuanto a la convergencia de las series que he llamado “oscilantes” (1,-1,1,…), también se me ha ocurrido que su sumatorio tiene como sentido físico el que representa un punto de equilibrio entre oscilaciones completas.

    Puede verse así… La suma de Cesàro busca la media aritmética de las sumas parciales (aunque puede generalizarse a otro tipo de medias)

    Ni siquiera he encontrado lo que es una serie trasladable.

    Se dice que la serie a_n (con suma A) es trasladable (o estable) si podemos definir la suma de la serie b_n=a_{n+N} (que llamaremos B), siendo además que A=B+(los términos que faltan en la serie b).
    Eso es más una propiedad de la serie que de los métodos de sumado.

  • Creo que mezcláis churras con merinas. Aunque seguramente “Someone” dirá que los matemáticos son demasiados formales y que no hay que tener miedo de mezclar churras con merinas y cruzarlas entre sí. :-) (Lo digo de buen rollo, ¿eh?)

    Cada vez que sale una suma infinita en un libro, imagen, vídeo, etc.. hay que preguntarse tres cosas:
    -- ¿Qué objetos se suman?
    -- ¿Qué tabla de sumar se utiliza?
    -- ¿Que criterio de convergencia se tiene para sumas infinitas?

    Caso 1:
    -- Los objetos son euros
    -- La tabla de sumar es la que todo el mundo tiene en la cabeza cuando dice “5 euro + 3 euros son 8 euros”
    -- El criterio de convergencia es lo que se llama “convergencia absoluta”

    En tal caso, la serie “1 -2 +3 -4 +…” no converge y todo lo demás sobra. Todas las manipulaciones del vídeo son ilegítimas en este contexto.
    Como da la impresión, hasta el final del vídeo, de que este es el contexto, por eso he dicho más arriba que el vídeo es un poco “tendencioso”.

    Caso 2:
    -- Los números son únicamente el 0 y el 1
    -- La tabla de sumar es: 0+0=0, 0+1=0, 1+0=0, 1+1=0
    -- El criterio de convergencia es cualquiera que se nos ocurra

    En este caso todas las series convergen a 0 porque todas las sumas son cero. :-)

    Caso 3:
    -- Los objetos son de alguna naturaleza física que desconozco pero se pueden contar como si fueran euros: 0, 1, 2, 3… Digamos que son “imagitrones”.
    -- La tabla de sumar es la misma que tenemos en la cabeza al sumar euros sólo que ahora sumamos imagitrones
    -- El criterio de convergencia es lo que se llama “convergencia de Cesaro” porque en el universo de los imagitrones es un criterio más lógico que el de la convergencia absoluta.

    El vídeo entonces tiene sentido pero algún día alguien me dirá de qué objetos estamos hablando…
    Pero sí, si el autor del vídeo está sumando imagitrones, entonces el vídeo es irreprochable.

  • Someone dijo:

    esa ecuación que escribes es un caso particular de la propiedad de linealidad

    Tienes razón.

    HaLoHuBaMa dijo:

    Digamos que son “imagitrones”

    Vale, sumemos “imagitrones” para que el video sea irreprochable. En este caso el problema sigo viendolo en el momento en que hacen S-S2=4·S.
    Si mi desarrollo anterior (particularización de la propiedad de linearidad) es correcto y evaluamos el error E(n) = (4·S(n))-(S(n)-S2(n)), tenemos:

    4·S(n)= 4,6,8,10,12,14,…
    S(n)-S2(n)=0,2,4/3,3,12/5,4,…

    donde el sumatorio es el de Cesàro. De ahí:

    E = 4,4,20/3,7,48/5,10,… Es decir, E no tiende a cero y no se puede decir que 4·S = S-S2.

    Vamos, que no se pueden quitar los ceros de la sucesión S-S2=0,4,0,8,0,12,… para obtener 4·S y la demostración del video es totalmente incorrecta.

    Naturalmente, puedo estar equivocado y tener juntas churras, merinas y algún lobo disfrazado de obeja. Si ese es el caso ¿puede alguien decirme donde está el lobo?.

  • Sorry: oveja. :oops:

  • ¿Se podria entablar un debate sobre la cuadratura del circulo?… me encantan los blogs magufos, como este en el que comento.

  • @ Q:

    ¿Se podria entablar un debate sobre la cuadratura del circulo?…

    No, eso ya me encargué yo de aclararlo en otro tema..

    me encantan los blogs magufos, como este en el que comento.

    :facepalm: :facepalm: :facepalm:

    @ Sahumerio:

    donde el sumatorio es el de Cesàro

    Es que la suma de Cesàro es útil para series divergentes cuyas sumas parciales son oscilantes, no te sirve para series divergentes cuyas sumas parciales se van al infinito. En ese caso es mejor usar otra definición de suma (como la ya mencionada “Zeta regularization”).

  • @ Q:
    Que un magufo (¿quizá tú?) comente en este blog no significa que el blog lo sea. Pero quizá sea demasiado esperar de tu raciocinio.


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